导数与微分

导数与微分

一、导数概念

1. 导数的定义

若极限$\lim_{\Delta x\to x}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}$存在，则称函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，并称此极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记作

$y'|_{x=x_0} 或 y'(x_0) 或 \frac{dy}{dx}|_{x=x_0}$

2. 常用的导数定义形式

$\begin{aligned} f'(x_0) &= \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ 或 \\ f'(x_0) &= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \end{aligned}$

3. 单侧导数

左导：

$\begin{aligned} f'_-(x_0) &= \lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ &= \lim_{\Delta x\to 0^-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \end{aligned}$

右导：

$\begin{aligned} f'_+(x_0) &= \lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ &= \lim_{\Delta x\to 0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \end{aligned}$

函数在某点处可导的充要条件：

$f'_-(x_0) = f'_+(x_0) \Leftrightarrow f'(x_0)$

4. 导数定义式极限

$\lim\Delta = kf'(x_0)$

$k$等于极限去$f$化简即可

例: 设$f(x)$在$x=1$处可导,则

$\begin{aligned} &\lim_{x\to0}\frac{f(1+2x)-f(1-x)}{x}\\ =&\frac{(1+2x)-(1-x)}{x}f'(1) \\ =&3f'(1) \end{aligned}$

二、可导与连续

1. 图像特征：

连续： 不间断; 可导：光滑

2. 可导与连续的关系

$可导\Rightarrow连续$

注:

1. 充分条件：顺箭头推
2. 必要条件：逆箭头推
3. 原命题成立，逆否命题也成立.

三、导数公式与运算

基本公式

$\begin{array}{rcl|rcl} (C)' &=& 0 & (x^n)' &=& nx^{n-1} \\ (\sqrt x)' &=& \frac 1{2\sqrt x} & (\frac 1x)' &=& -\frac 1{x^2} \\ (\sin x)' &=& \cos x & (\cos x)' &=& -\sin x \\ (\tan x)' &=& \sec^2x & (\cot x)' &=& -\csc^2x \\ (\sec x)' &=& \sec x\tan x & (\csc x)' &=& -\csc x\cot x \\ (a^x)' &=& a^x\ln a & (e^x)' &=& e^x·\ln e = e^x \\ (\log_ax)' &=& \frac 1{x\ln a} & (\ln x)' &=& \frac 1x \\ (\arcsin x)' &=& \frac 1{\sqrt{1-x^2}} & (\arccos x)' &=& -\frac 1{\sqrt{1-x^2}} \\ (\arctan x)' &=& \frac 1{1+x^2} & (arccot x)' &=& -\frac 1{1+x^2} \end{array}$

四则运算

1. 两函数相加减

   $[u\pm v]' = u'\pm v'$

2. 求导的函数前有系数

   $[ku]' = ku'$

   系数不影响求导、极限、奇偶性、积分。
3. 函数相乘求导

   $[u·v]' = u'v + uv'$

   前导后不倒 + 前不导后导
4. 函数相除求导

   $[\frac vu]' = \frac {v'u-vu'}{u^2}$

四、复合函数求导

$y = f[g(x)]$

方法：由外到里一层一层求导连乘起来

$y' = f'[g(x)]\cdot g'(x)$

五、隐函数求导

隐函数： $y=y(x)$由方程$F(x,y) = 0$所确定， 求 $\frac {dy}{dx}$

方法： 隐函数求导公式

$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}(注：\frac{dx}{dy} = -\frac{F_y}{F_x})$

*互为负倒的关系

符号	说明
$F_x$	F对x的偏导
$F_y$	F对y的偏导

六、参数方程求导

形式如：

$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$

求导公式：

一阶导：

$\frac{dy}{dx}=\frac{y'(t)}{x'(t)}$

二阶导：

$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{[\frac{y'(t)}{x'(t)}]'}{x'(t)}$

七、对数法求导

1. 单边取对数

适用于幂指函数$y=f(x)^{g(x)}$

步骤：

1. 恒等变形

$y=e^{\ln f(x)^{g(x)}} = e^{g(x)\cdot\ln f(x)}$

*用到的两个公式
1. $M = e^{\ln M}$
2. $\ln M^N = N\ln M$
2. 当作复合函数求导

2. 双边取对数

适用于连乘、连除.

步骤：

1. 两边同时取$\ln$
   
   *可能会用到的两个公式
   1. $\ln(MN)=\ln M+\ln N$
   2. $\ln\frac{M}{N}=\ln M-\ln N$
2. 两边对x求导

八、求高阶导

*高阶导表达形式

$\begin{cases} y'、y''、y'''、y^{(4)}……y^{(n)} \\ f'(x)、f''(x)、f'''(x)、f^{(4)}(x)……f^{(n)}(x) \\ \frac{dy}{dx}、\frac{d^2y}{dx^2}、\frac{d^3y}{dx^3}、\frac{d^4y}{dx^4}……\frac{d^{(n)}y}{dx^{(n)}}、 \end{cases}$

1. 所求阶数不太高：连续求导即可.
2. 所求阶数较高：求出前几阶，找出规律，得结果。
3. 常见的高阶导

$\begin{aligned} (e^x)^{(n)} &= e^x &(1) \\ (e^{ax+b})^{(n)} &= a^n e^{ax+b} &(2) \\ (x^m)^{(n)} &= \begin{cases} n!&, m = n\\ 0&, m < n \end{cases} &(3) \end{aligned}$

九、求切线方程和法线方程

1. 导数的几何意义：$f(x)$表示在$[x_0,f(x_0)]$处切线的斜率，即$k_切=f'(x_0)$
2. 若已知函数$y=f(x)$,则在$(x_0,y_0)$处有：

$\begin{cases} 切线方程：y-y_0 = f'(x_0)(x-x_0) \\ 法线方程：y-y_0 = -\frac1{f'(x_0)}(x-x_0) \end{cases}$

注：

$k_法 = -\frac1{k_切}$

十、微分

1. 微分的定义

由微商$\frac{dy}{dx} = f'(x)$，得函数的微分

$dy = f'(x)dx$

注：对于二元函数来说，可微与可导等价。

2. 微分的基本公式

$\begin{array}{rcl|rcl} dC &=& 0 & dx^n &=& nx^{n-1}dx \\ d(\sqrt x) &=& \frac 1{2\sqrt x}dx & d(\frac 1x) &=& -\frac 1{x^2}dx \\ d(\sin x) &=& \cos xdx & d(\cos x) &=& -\sin xdx \\ d(\tan x) &=& \sec^2xdx & d(\cot x) &=& -\csc^2xdx \\ d(\sec x) &=& \sec x\tan xdx & d(\csc x) &=& -\csc x\cot xdx \\ d(a^x) &=& a^x\ln adx & d(e^x) &=& e^x\cdot\ln e\cdot dx = e^xdx \\ d(\log_ax) &=& \frac 1{x\ln a}dx & d(\ln x) &=& \frac 1xdx \\ d(\arcsin x) &=& \frac 1{\sqrt{1-x^2}}dx & d(\arccos x) &=& -\frac 1{\sqrt{1-x^2}}dx \\ d(\arctan x) &=& \frac 1{1+x^2}dx & d(arccot x) &=& -\frac 1{1+x^2}dx \end{array}$

3. 微分四则运算

1. 两函数相加减

   $d(u\pm v) = du\pm dv$

2. 求导的函数前有系数

   $d(ku) = kdu$

3. 函数相乘求导

   $d(u·v) = vdu + udv$

4. 函数相除求导

   $d(\frac vu) = \frac {udv-vdu}{u^2}$

4. 微分的计算

步骤:

1. 先求导数$y'$;
2. 代公式$dy=y'dx$.