函数、极限与连续

函数

求函数的定义域

原则：

1. 分母不能为0

   $\frac{1}{x}: x \neq 0$

2. 开偶次方时被开方数大于等于0

   $\sqrt[2n]{x}: x \geq 0$

3. 真数大于0

   $\log_ax(\ln x, \lg x): x > 0$

4. 反正弦反余弦变量的整体 |x|≤ 1

   $\arcsin x, \arccos x: -1\leq x \leq 1$

5. 抽象函数求定义域

   $f[u(x)] \to f[v(x)]: u(x)=v(x)$

6. 分段函数：取并集

相同函数

$两函数相同 \iff 定义域、值域都相同$

求函数表达式

• 已知$f(x)求f[φ(x)]$ 直接代入
• 已知$f[φ(x)]$求$f(x)$ 凑或换元
  
  例如：已知$f(x+1) = x^2 + 2x + 2$, 则$f(x)$ = _____
  
  凑：

  $\begin{aligned} f(x+1) &= x^2+2x+1+1 \\ &=(x+1)^2+1 \end{aligned}$

  换元：令$x+1=t, x=t$

  $\begin{aligned} \therefore f(t) &= (t-1)^2 + 2(t-1) + 2 \\ &= t^2-2t+1+2t-2+2 \\ &= t^2+1 \\ \therefore f(x)&=x^2+1 \end{aligned}$

• 已知$f[φ(x)]$, 求$f[ψ(x)]$。先求$f(x)$在求$f[ψ(x)]$
  
  例如：已知$f(x-1)=x^2-x$,则$f(\sqrt{x})$=____
  
  令$x-1=t, x=1+t$

  $\begin{aligned} \therefore f(t)&=(1+t)^2-(1+t) \\ &=1+2t+t^2-1-t \\ &= t^2+t \\ \therefore f(x)&=x^2+x \\ \therefore f(\sqrt{x})&=x+\sqrt{x} \\ \end{aligned}$

函数的四种性质

1. 单调性

   • 定义:
     
     $\forall x_1 <x_2$
     
     若$f(x_1)<f(x_2)$,则称为f(x)单调递增;
     
     若$f(x_1)>f(x_2)$,则称为f(x)单调递减.
     
     <同增异减>

     *$\forall$为任意

   • 判定（见第二章）：
     

   $\begin{cases} f'(x)>0,则f(x)\uparrow \\ f'(x)<0,则f(x)\downarrow \end{cases}$

2. 奇偶性
   • 定义：

     $f(-x)=\begin{cases} -f(x),奇函数(图像关于原点对称) \\ f(x),偶函数(图像关于y轴对称) \end{cases}$

   • 常见：
     
     • 奇函数$x^{2n+1}, \sin x, \tan x, \arcsin x, \log _a(\sqrt {1+x^2} \pm x), f(x)-f(-x)$
     • 偶函数$x^{2n}, |x|, \cos x, C, f(x)+f(-x)$
   • 四则运算：
     
     • 加减：
       

       $奇\pm奇=奇 \\ 偶\pm偶=偶 \\ 奇\pm偶=非奇非偶$

     • 乘除：
       

       $奇\times奇=偶 \\ 偶\times偶=偶 \\ 奇\times偶=奇$

3. 有界性
   • 定义：若存在M,使得$|f(x)|\leq M$,则称f(x)有界.
   • 常见：
     
     $\sin x,\cos x$和4个反三角函数
     
     注：符合函数外层有界，则该函数有界.
4. 周期性
   • 定义：若$f(x+T)=f(x)$,则称T为f(x)的一个周期
   • 常见：
     

     函数	周期
     $\sin x, \cos x$	$T=2\pi$
     $\tan x, \cot x$	$T=\pi$
     $\sin(ax+b),\cos(ax+b)$	$T=\frac{2\pi}{\mid a\mid}$
     $\tan(ax+b),\cot(ax+b)$	$T=\frac{\pi}{\mid a\mid}$

反函数

求反函数步骤：

1. 反解$x$
2. $x$,$y$互换
3. 注明定义域

极限

极限的定义

• 定义：

$左极限\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A \\ 右极限\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$

• 极限存在的充要条件：左、右极限存在且相等。
  
  即

  $\lim_{x\to x_0}f(x)=A \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A$

  注：

  $\lim_{x\to \infty}f(x)=A \iff \lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}f(x)=A$

• 极限不存在的两种情况
  1. 左右极限不相等
  2. 极限值出现无穷大

极限的计算

• 四则运算

$\begin{array}{rll} 设\lim f(x)&=A \lim g(x)=B则：\\ \lim[f(x)\pm g(x)]&=\lim f(x)\pm lim g(x)&=A\pm B \\ \lim[f(x)·g(x)]&=\lim f(x)·\lim g(x)&=A·B \\ \lim \frac{f(x)}{g(x)}&=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}&=\frac{A}B \end{array}$

1. 趋近有定义位置时直接代入
   
   例如：

   $\begin{aligned} &\lim_{x\to2}\frac{x^2+x-1}{2x+1} \\ &=\frac{4+2-1}{2·2+1} \\ &=\frac55 = 1 \end{aligned}$

2. (趋近与无穷时)抓大头(次数最高的)
   
   例如：

   $\lim_{x\to\infty}\frac{a_0x^m+a_1x^{m-1}+···+a_m}{b_0x^n+b_1x^{n-1}+···+b_n} = \left\{ \begin{array}{c} \infty,&\text m>n \\ \frac{a_0}{b_0},&\text m=n \\ 0, &\text m<n \end{array} \right.$

3. 两个重要极限
   1.

   $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1(x可换任何未知数)$

   例如：

   $\begin{aligned} &\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{2x} \\ =& \lim_{x\to\infty}\frac{\sin \frac{1}{2x}}{\frac{1}{2x}}·\frac{1}{2} \\ =& 1·\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

   $\begin{aligned} \lim_{x\to\infty}(1+\frac1x)^x &= \lim_{x\to0}(1+x)^\frac1x \\ &=e \\ \therefore \lim_{□\to0}(1+□)^\frac1□ &= e, 1^\infty \end{aligned}$

   步骤：
   

   1. 凑“1”
   2. 凑“+”
   3. 凑“互倒关系”

4. 等价无穷小代换
   
   当x趋近与0时

   $\begin{aligned} 1. &\sin x、\tan x、\arcsin x、\arctan x ～ x \\ 2. &\large e^x-1、\ln(1+x)～x \\ 3. &1-\cos x ～ \frac{1}{2}x^2 \\ 4. &\sqrt{1+x}-1 ～ \frac{1}{2}x \end{aligned}$

   注：乘除可用，加减不可用.

5. 洛必达

$对于\frac00或\frac{\infty}{\infty}型 \\ 有\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f\prime(x)}{g\prime(x)} \\ 注：用一步验证一步，若仍为对于\frac00或\frac{\infty}{\infty}型,可继续洛必达。 \\$

6. 无穷减无穷型：通分合并
   

7. 根式有理化
   

   1. 乘以有理化因子（凑平方差）
   2. 多出来的根号直接带入

8. 零乘无穷型
   
   等于一个除以另一个的倒数再洛必达

9. 幂指函数求极限
   
   单边取对数：
   
   适用于幂指函数$y=f(x)^{g(x)}$
   
   步骤：

   1. 恒等变形

   $y=e^{\ln f(x)^{g(x)}} = e^{g(x)\cdot\ln f(x)}$

   2. 当作复合函数求导

10. 无穷小×有界函数=无穷小

求极限式中的未知数

将式子正常求极限再令带未知数的式子等于题目结果。

无穷小的比较

1. 定义
   
   无穷小：若$\lim f(x)=0$,则称$f(x)$为无穷小;
   
   无穷大：若$\lim f(x)=\infty$,则称$f(x)$为无穷大
2. 无穷小与无穷大的关系
   
   无穷小与无穷大互为倒数
   
   若$\lim f(x)=0$,则$\lim\frac{1}{f(x)}=\infty$;
   
   若$\lim f(x)=\infty$,则$\lim\frac{1}{f(x)}=0$
3. 无穷小的性质
   1. 有限个无穷小之和仍为无穷小;
   2. 有限个无穷小之积仍为无穷小;
   3. 无穷小与有界函数之积仍为无穷小;
4. 两个无穷小的比较

$\lim\frac{f(x)}{g(x)}= \left\{ \begin{array}{l} 0, f(x)是g(x)的高阶无穷小;\\ \infty, f(x)是g(x)点的低阶无穷小;\\ C, f(x)是g(x)的同阶无穷小; \\ 1, f(x)是g(x)的等价无穷小，记作f(x)～g(x) \end{array} \right.$

连续

函数的连续性

1. 定义
   
   若$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$,则称$f(x)在x_0处连续$
   
   即

   $连续\Longleftrightarrow\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$

函数间断点及类型的判定

1. 间断点的定义：即不连续的点（无定义点处或分段点处）
2. 间断点的分类：
   

   $第一类 \left\{ \begin{array}{l} 可去：左=右 \\ 跳跃：左\neq右 \end{array} \right. 第二类 \left\{ \begin{array}{l} 无穷：左或右出现\infty \\ 震荡：例x=0时,y=\sin\frac 1x或y=\cos \frac1x \end{array} \right.$

利用零点定理判断方程根的存在性

1. 零点定理：

   $若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0, \\ 则\exists\xi\in(a,b),使f(\xi)=0$

   *$\exists$：至少存在一点
2. 判定步骤：
   1. 构造函数$f(x)$
   2. 验证两个条件
   3. 由零点定理可知，$\exists\xi\in(a,b)$,使$f(\xi)=0$
3. 仅一根（唯一性）的证明步骤：
   在上面 2 的基础上求导判断单调性即可。