微分中值定理及导数应用

微分中值定理及导数的应用

一、微分中值定理

1. 罗尔定理

如果函数$f(x)$满足：

1. 在闭区间[a,b]上连续;
2. 在开区间(a,b)上内可导;
3. $f(a) = f(b)$
   
   则$\exist \xi\in(a,b)$，使得

$f'(\xi) = 0$

2. 拉格朗日中值定理

如果函数$f(x)$满足：

1. 在闭区间[a,b]上连续;
2. 在开区间(a,b)上内可导;
   则$\exist \xi\in(a,b)$，使得

$f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

二、函数的单调性、极值与最值

1. 单调性

1. 判定方法：

$\begin{cases} f'(x)>0,&f(x)\uarr \\ f'(x)<0,&f(x)\darr \end{cases}$

2. 讨论单调性（单调区间）的步骤：
   1. 求定义域;
   2. 求出$f'(x) = 0$和$f'(x)$不存在的点，将定义域划分为若干个子区间;
   3. 列表，根据$f'(x)$在子区间内的符号，确定单调性.

2. 极值

1. 定义：

   $\begin{cases} f(x) < f(x_0),&则x=x_0为极大值点,f(x)为极大值\\ f(x) > f(x_0),&则x=x_0为极小值点,f(x)为极小值 \end{cases}$

   *$f(x)$：$x_0$点左右两侧的函数值;

2. 极值的判定

   1. 第一判断定理

   $\begin{cases} x<x_0时,f'(x) > 0;&x>x_0时,f'(x) < 0,&则x=x_0为极大值 \\ x<x_0时,f'(x) < 0;&x>x_0时,f'(x) > 0,&则x=x_0为极小值 \end{cases}$

   *极值点是单调性的分界点，左右两侧$f'(x)$必然异号。

   2. 第二判定定理

   $f'(x_0)=0时 \begin{cases} f''(x_0)>0, 则x=x_0为极小值点\\ f''(x_0)<0, 则x=x_0为极大值点 \end{cases}$

3. 驻点
   

$若f'(x_0) = 0, 则x_0为f(x)的驻点$

*驻点$\nLeftrightarrow$极值点(驻点推不出来极值点，极值点也推不出来驻点)

4. 若$x=x_0$为$f(x)$的极值点，则$f'(x_0) = 0$或$f'(x_0)$不存在

5. 求极值点和极值的步骤：

   1. 确定$f(x)$定义域;
   2. 求导$f'(x_0)$,并求出$f'(x) = 0$和$f'(x)$不存在的点;
   3. 列表

3. 最值

步骤：

1. 求出所有$f'(x) = 0$和$f'(x)$不存在的点
2. 求出上述点的函数值和端点的函数值

$\begin{cases} 最大值 = max[极值， 端点值] \\ 最小值 = min[极值， 端点值] \end{cases}$

三、函数的凹凸性与拐点

1. 凹凸性

1. 凹曲线：曲线上任意点处的切线总位于曲线的下方；
2. 凸曲线：曲线上任意点处的切线总位于曲线的上方；

2. 凹凸性的判定

$\begin{cases} f''(x)>0,&凹 \\ f''(x)<0,&凸 \end{cases}$

*大凹小凸

3. 拐点

凹凸性的分界点称为拐点，记作$(x_0,y_0)$.

拐点左右两侧$f''(x)$必然异号.

若点$(x_0,y_0)$是曲线$y=f(x)$的拐点，则$f''(x_0)=0$或$f''(x_0)$不存在

4. 凹凸区间及拐点的求解步骤：

1. 求出定义域
2. 求出$f''(x) = 0$以及$f''(x)$不存在的点;
3. 列表，由$f''(x)$符号得出凹凸区间，凹凸区间的分界点即为拐点.

四、渐近线

1. 水平渐近线
   若$\lim_{x\to\infty}f(x)=C$,则称$y=C$是$y=f(x)$的一条水平渐近线.
2. 垂直渐近线
   若$\lim_{x\to x_0^\pm}f(x)=\infty$,则称$x=x_0$是$y=f(x)$的一条垂直渐近线.

五、利用单调性证明不等式和根的存在性

1. 不等式的证明步骤：
   
   1. 构造函数$f(x)$;
   2. 求导判断单调性;
   3. 大于最低点，小于最高点.
2. 唯一根的证明步骤：
   
   1. 利用零点或罗尔定理证明至少有一个根;
   2. 求导判断函数单调，得唯一根;

六、恒等式的证明

1. 构造函数$f(x)$
2. 求导验证$f'(x)=0$
3. $f(x)=f(x_0)=C$